Что такое фильтр Баттерворта, расчет и схема

В данной статье мы поговорим про фильтр Баттерворта, рассмотрим порядки фильтров, декады и октавы, подробно разберем фильтр низких частот Баттерворта третьего порядка с расчетом и схемой.

Введение

В устройствах, которые используют фильтры для формирования частотного спектра сигнала, например, в системах связи или управления, форма или ширина спада, также называемая «полосой перехода», для простого фильтра первого порядка может быть слишком длинной или необходимы широкие и активные фильтры, разработанные с более чем одним «заказом». Эти типы фильтров обычно известны как фильтры «высокого порядка» или «n- го порядка».

Порядок фильтров

Сложность или тип фильтра определяется «порядком» фильтров и зависит от количества реактивных компонентов, таких как конденсаторы или катушки индуктивности в его конструкции. Мы также знаем, что скорость спада и, следовательно, ширина полосы перехода зависит от порядкового номера фильтра и что для простого фильтра первого порядка он имеет стандартную скорость спада 20 дБ / декаду или 6 дБ / октава.

Тогда для фильтра, имеющего n- й порядковый номер, он будет иметь последующую скорость спада 20n дБ / декаду или 6n дБ / октаву. Таким образом:

  • фильтр первого порядка имеет скорость спада 20 дБ / декаду (6 дБ / октава)
  • фильтр второго порядка имеет скорость спада 40 дБ / декаду (12 дБ / октава)
  • фильтр четвертого порядка имеет частоту спада 80 дБ / декада (24 дБ / октава) и т. д.

Фильтры высокого порядка, такие как третий, четвертый и пятый, обычно формируются путем каскадного объединения одиночных фильтров первого и второго порядка.

Например, два фильтра нижних частот второго порядка могут быть соединены каскадно для получения фильтра нижних частот четвертого порядка и так далее. Несмотря на то, что порядок фильтра, который может быть сформирован, не ограничен, при увеличении порядка увеличиваются его размер и стоимость, а также снижается его точность.

Декады и октавы

Последний комментарий о Декадах и Октавах . По шкале частот декада — это десятикратное увеличение (умножение на 10) или десятикратное уменьшение (деление на 10). Например, от 2 до 20 Гц представляют одну декаду, тогда как от 50 до 5000 Гц представляют две декады (от 50 до 500 Гц, а затем от 500 до 5000 Гц).

Октава — это удвоение (умножить на 2) или уменьшение в два раза (деление на 2) по шкале частот. Например, от 10 до 20 Гц представляет одну октаву, а от 2 до 16 Гц — это три октавы (от 2 до 4, от 4 до 8 и, наконец, от 8 до 16 Гц), каждый раз удваивая частоту. В любом случае, логарифмические шкалы широко используются в частотной области для обозначения значения частоты при работе с усилителями и фильтрами, поэтому важно понимать их.

Логарифмическая шкала частот

Логарифмическая шкала частот

Поскольку резисторы, определяющие частоту, все равны, как и конденсаторы, определяющие частоту, отсечка или угловая частота ( ƒC ) для первого, второго, третьего или даже для фильтра четвертого порядка также должны быть равны и найдены, используя знакомое уравнение:

угловая частота

Как и в случае фильтров первого и второго порядка, фильтры верхних частот третьего и четвертого порядка формируются простым взаимным обменом положений определяющих частоту компонентов (резисторов и конденсаторов) в эквивалентном фильтре нижних частот. Фильтры высокого порядка можно спроектировать, следуя процедурам, которые мы видели ранее в руководствах по фильтру нижних частот и фильтрам верхних частот. Однако общий коэффициент усиления фильтров высокого порядка является фиксированным, поскольку все компоненты, определяющие частоту, являются одинаковыми.

Аппроксимации фильтра

До сих пор мы рассматривали низкочастотные и высокочастотные схемы фильтра первого порядка, их результирующие частотные и фазовые характеристики. Идеальный фильтр дал бы нам спецификации максимального усиления полосы пропускания и плоскостности, минимального затухания полосы пропускания, а также очень крутой полосы пропускания, чтобы остановить спад полосы (полоса перехода), и поэтому очевидно, что большое количество сетевых откликов будет удовлетворять эти требования.

Неудивительно, что в линейном дизайне аналоговых фильтров есть ряд «аппроксимационных функций», в которых используется математический подход для наилучшего приближения передаточной функции, которая требуется нам для проектирования фильтров.

Такие конструкции известны как ЭллиптическийБаттервортЧебышевБессельКауэр и многие другие. Из этих пяти «классических» функций аппроксимации линейного аналогового фильтра только фильтр Баттерворта и особенно конструкция фильтра Баттерворта нижних частот будут рассматриваться здесь как его наиболее часто используемая функция.

Низкочастотный фильтр Баттерворта

Частотная характеристика аппроксимационной функции фильтра Баттерворта также часто называется «максимально плоской» (без пульсаций) характеристикой, поскольку полоса пропускания спроектирована так, чтобы иметь частотную характеристику, которая является настолько плоской, насколько это математически возможно, от 0 Гц (DC) до частоты среза -3 дБ без пульсаций. Более высокие частоты за пределами точки отсечки снижаются до нуля в полосе останова на уровне 20 дБ / декада или 6 дБ / октава. Это потому, что он имеет «фактор качества», «Q» всего 0,707.

Однако одним из основных недостатков фильтра Баттерворта является то, что он достигает этой плоскостности полосы пропускания за счет широкой полосы перехода, когда фильтр изменяется от полосы пропускания к полосе остановки. Он также имеет плохие фазовые характеристики. Идеальная частотная характеристика, называемая фильтром «кирпичной стены», и стандартные аппроксимации Баттерворта для различных порядков фильтра приведены ниже.

Идеальная частотная характеристика для фильтра Баттерворта

Идеальная частотная характеристика для фильтра Баттерворта

Обратите внимание, что чем выше порядок фильтра Баттерворта, тем больше количество каскадных ступеней в конструкции фильтра и тем ближе фильтр подходит к идеальному отклику «кирпичной стены».

Однако на практике идеальная частотная характеристика Баттерворта недостижима, поскольку она вызывает чрезмерную пульсацию в полосе пропускания.

Где обобщенное уравнение, представляющее фильтр Баттерворта «n-го» порядка, частотная характеристика дается как:

частотная характеристика

Где: n представляет порядок фильтра, ω равно 2πƒ, а ε — максимальное усиление полосы пропускания (A max ). 

Если A max определено на частоте, равной угловой точке отсечки -3 дБ (ƒc), тогда ε будет равно единице и, следовательно, ε 2 также будет равно единице. Однако, если вы теперь хотите определить A max при другом значении усиления по напряжению, например, 1 дБ или 1.1220 (1 дБ = 20 * logA max ), тогда новое значение ε находится по формуле :

значение эпсилон

Подставляя данные в уравнения, получаем:

значение эпсилон

Частотная характеристика фильтра может быть определена математически его передаточной функции с стандартом передачи напряжения Функция H (jω) и записывается в виде:

Частотная характеристика фильтра

Примечание: (jω) также можно записать как (s) для обозначения S-области. и результирующая передаточная функция для фильтра нижних частот второго порядка задается как:

результирующая передаточная функция

Нормализованные полиномы фильтра Баттерворта низких частот

Чтобы помочь в разработке своих фильтров нижних частот, Баттерворт создал стандартные таблицы нормализованных полиномов нижних частот второго порядка с учетом значений коэффициента, которые соответствуют частоте отсечки угла 1 радиан / с.

NНормализованные полиномы знаменателя в факторизованной форме
1(1 + S)
2(1 + 1,414 с + с 2 )
3(1 + с) (1 + с + с 2 )
4(1 + 0,765 с + с 2 ) (1 + 1,848 с + с 2 )
5(1 + с) (1 + 0,618 с + с 2 ) (1 + 1,618 с + с 2 )
6(1 + 0,518 с + с 2 ) (1 + 1,414 с + с 2 ) (1 + 1,932 с + с 2 )
7(1 + с) (1 + 0,445 с + с 2 ) (1 + 1,247 с + с 2 ) (1 + 1,802 с + с 2 )
8(1 + 0,390 с + с 2 ) (1 + 1,111 с + с 2 ) (1 + 1,663 с + с 2 ) (1 + 1,962 с + с 2 )
9(1 + с) (1 + 0,347 с + с 2 ) (1 + с + с 2 ) (1 + 1,532 с + с 2 ) (1 + 1,879 с + с 2 )
10(1 + 0,313 с + с 2 ) (1 + 0,908 с + с 2 ) (1 + 1,414 с + с 2 ) (1 + 1,782 с + с 2 ) (1 + 1,975 с + с 2)

Расчет и схема фильтра Баттерворта низких частот

Найти порядок активного фильтра Баттерворта нижних частот, чьи характеристики приведены в качестве: A макс = 0,5 дБ на частоте полосы пропускания ( ωp ) 200 радиан / сек (31.8 гЦ), и Amin = -20 дБ на частоте полосы остановки ( ωs ) 800 радиан / сек. Также разработайте подходящую схему фильтра Баттерворта, соответствующую этим требованиям.

Во-первых, максимальное усиление полосы пропускания A max = 0,5 дБ, которое равно усилению 1,0593 , помните, что: 0,5 дБ = 20 * log (A) на частоте ( ωp ) 200 рад / с, поэтому значение эпсилона ε находится по:

находим значение эпсилон

Во-вторых, минимальное усиление полосы остановки A min = -20 дБ, которое равно усилению 10 (-20 дБ = 20 * log (A)) на частоте полосы остановки ( ωs ) 800 рад / с или 127,3 Гц.

Подстановка значений в общее уравнение для частотной характеристики фильтров Баттерворта дает нам следующее:

общее уравнение для частотной характеристики фильтров Баттерворта

Так как n всегда должно быть целым числом, то следующим самым высоким значением 2,42 будет n = 3 , поэтому «требуется фильтр третьего порядка», и для создания фильтра Баттерворта третьего порядка, ступени фильтра второго порядка требуется каскадное соединение со ступенью фильтра первого порядка.

Из приведенной выше таблицы нормализованных полиномов Баттерворта низких частот коэффициент для фильтра третьего порядка дается как (1 + s) (1 + s + s 2 ), и это дает нам усиление 3-A = 1 или A = 2 . В А = 1 + (Rf / R1) , выбирая значение как для резистора обратной связи Rf и резистора R1 дает нам значения 1 кОм и 1 кОм , соответственно, как: (  1 кОм / 1 кОм) + 1 = 2 .

Мы знаем, что угловая частота отсечки, точка -3 дБ ( ω o ) может быть найдена с помощью формулы 1 / CR , но нам нужно найти ω o по частоте полосы пропускания ω p ,

частота отсечки угла

Таким образом, частота отсечки угла задается как 284 рад / с или 45,2 Гц (284 / 2π), и, используя знакомую формулу 1 / RC, мы можем найти значения резисторов и конденсаторов для нашей схемы третьего порядка.

значения резисторов и конденсаторов

Обратите внимание, что ближайшее предпочтительное значение до 0,352 мкФ будет 0,36 мкФ или 360 нФ .

И, наконец, наша схема низкочастотного фильтра Баттерворта третьего порядка с угловой частотой среза 284 рад / с или 45,2 Гц, максимальным усилением полосы пропускания 0,5 дБ и минимальным усилением полосы остановки 20 дБ строится следующим образом.

картинка-схема низкочастотного фильтра Баттерворта третьего порядка

Таким образом, для нашего фильтра низких частот Баттерворта 3-го порядка с угловой частотой 45,2 Гц, C = 360 нФ и R = 10 кОм

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

comments powered by HyperComments
Оценки статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (3 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...