Теорема Гаусса Остроградского и Стокса

В статье расскажем про теорему Гаусса-Остроградского (теорема дивергенции) и теорему Стокса (теорема вращения).

Замечательные и компактные уравнения Максвелла, полученные в предыдущих лекциях, имеют такой же фундаментальный и глубокий смысл в электродинамике, как и уравнение в механике. Эти уравнения представлены в интегральной форме, и теперь мы найдем их дифференциальную форму, необходимую для локального описания электрических и магнитных полей. 

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме получаются в результате только математических преобразований уравнений в интегральной форме. Это означает, что уравнения Максвелла в интегральных и дифференциальных уравнениях полностью эквивалентны друг другу.

Мы будем использовать две математические теоремы для преобразования уравнений Максвелла из одной формы в другую:

  1. Теорема Гаусса-Остроградского
  2. Теорема Стокса

Теорема Гаусса — Остроградского

Теорема Гаусса-Остроградского (теорема дивергенции) связывает поверхностный интеграл любой вектор-функции K на замкнутой поверхности A с объемным интегралом по объему V, ограниченному поверхностью A, и решает, что поток вектора K через замкнутую поверхность A равен интегралу объема от дивергенции векторного поля K, объем V ограниченной площади.

Формула Теорема Гаусса-Остроградского (теорема дивергенции)

В основном, эта теорема утверждает, что чем больше поток поля К

через замкнутую поверхность А чем больше производительность (дивергенция) источников поля K,

содержащихся в объеме V, ограниченном поверхностью закрытой A. Если внутри поверхности, А будет столько же точек положительной дивергенции (источников), что и в дивергенции отрицательной, то поток поля K через поверхность будет равен нулю.

Картинка Теоремы Гаусса-Остроградского

Теорема Стокса

Теорема Стокса (теорема вращения) связывает линейный интеграл от вектор-функции K после замкнутого контура L с поверхностным интегралом на плоскости A, ограниченным контуром L, и решает, что циркуляция вектора K на контуре L равна вращению вектора через плоскость A

Формула теоремы Стокса

Чтобы увидеть это, мы покрываем поверхность профиля А сеткой сколь угодно малых контуров, например сеткой прямоугольников, и вычисляем циркуляцию векторного поля К вдоль каждого из этих контуров. Чем тоньше мы выберем сетку, тем циркуляция вектора K по краям сетки будет более точно приближать значение вращения векторного поля K. Интегрирование в двух противоположных направлениях вдоль соседних сторон приводит к нулю. Ненулевые остаются только те значения, которые являются результатом интегрирования по фрагментам контура, ограничивающего поверхностью А. После завершения такого интегрирования по всей поверхности профиля А мы получаем только вектор К, циркулирующий вдоль контура, ограничивающего этот участок. Это содержание теоремы Стокса.

Описанная процедура изображена на анимации ниже.

Картинка теоремы Стокса в анимации

Мы уже встречали уравнение Максвелла в интегральной форме. В следующей лекции мы будем использовать теорему Гаусса-Остроградского и теорему Стокса для получения уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

comments powered by HyperComments
Оценки статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...