Уравнения Максвелла

В статье мы, используя теорему Гаусса-Остроградского и теорему Стокса приведем четыре уравнения Максвелла к дифференциальной форме. В конце статьи вы сможете посмотреть видео-лекцию для закрепления информации.

Четыре фундаментальных уравнения электромагнетизма сформулированы Джеймсом Клерком Максвеллом. Они описывают свойства электрического и магнитного полей и отношения между этими полями. Из уравнений Максвелла можно вывести уравнение электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме со скоростью света

таблица уравнений максвелла

Первое уравнение Максвелла, дифференциальной формы Фарадея

Закон Фарадея — интегральная форма:

закон Фарадея

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) в левой части уравнения на поверхностный интеграл:

замена линейного интеграла на поверхностный

 Мы можем оставить правую сторону в законе Фарадея в виде:

закон Фарадея

Теперь мы можем сравнить оба поверхностных интеграла:

сравнение двух поверхностных интеграла

Итак, мы получаем закон Фарадея — дифференциальную форму:

дифференциальная форма закона Фарадея

Второе уравнение Максвелла, дифференциальной формы обобщенного закона Ампера

Обобщенный закон Ампера — интегральная форма:

Обобщенный закон Ампера

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) с левой части уравнения на поверхностный интеграл:

замена линейного интеграла на поверхностный

Мы можем представить правую часть в обобщенном законе Ампера как поверхностный интеграл:

обобщенный закон Ампера как поверхностный интеграл

С учетом того, что прямой ток I можно выразить плотностью тока j :

выражение прямого тока как плоность тока

записываем правую сторону как один поверхностный интеграл:

поверхностный интеграл

Теперь мы сравним оба поверхностных интеграла друг с другом:

сравнение двух поверхностных интегралов

Чтобы это уравнение было истинным для каждой поверхности A, независимо от ее размера и формы, подфункции с обеих сторон уравнения должны быть равны.

Таким образом, мы получаем обобщенный закон Ампера — дифференциальную форму :

дифференциальная форма обобщенного закона Ампера

Третье уравнение Максвелла, дифференциальной формы закона Гаусса для электрического поля

Закон Гаусса для электрического поля — интегральная форма:

Закон Гаусса для электрического поля

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

замена поверхностного интеграла

Нагрузка Q также представлена ​​как интеграл объема от плотности заряда ρ :

формула нагрузки Q

Из равенства обоих интегралов объема:

равенство двух интегралов

получаем закон Гаусса для электрического поля — дифференциальную форму:

дифференциальная форма закона Гаусса для электрического поля

Четвертое уравнение Максвелла,
дифференциальная форма закона Гаусса для магнитного поля

Закон Гаусса для магнитного поля — интегральная форма:

Закон Гаусса для магнитного поля

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

замена поверхностного интеграла

Поскольку на основе закона Гаусса для магнитного поля оба этих интеграла равны нулю, то подфункции также равны нулю, поэтому мы сразу получаем закон Гаусса для магнитного поля — дифференциальную форму:

дифференциальная форма закона Гаусса для магнитного поля

Финальный вывод уравнений Максвелла

Финальный вид уравнений Максвелла

Видео-лекция

В данном видео подробно разберем уравнения Максвелла.

Уравнения Максвелла

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

comments powered by HyperComments
Оценки статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...