Закон Гаусса

В статье расскажем про определение потока электрического поля, подробно узнаете про закон Гаусса, его отличия от закона Кулона, а так же рассмотрим на примерах применение закона Гаусса для расчета электрического поля. В дополнении к этому, рассмотрим линии и потоки магнитного поля, закон Гаусса для поля B.

Определение потока электрического поля

Если электрическое поле однородно и когда плоскость с площадью A установлена ​​перпендикулярно линии этого поля E , то поток электрического поля ΦE,пронизывающий эту поверхность, равен:

Если теперь эта поверхность отклонена на угол φ от предыдущей позиции, поток изменит свое значение и будет:

формула потока электрического поля с углом фи

Поскольку поток имеет скалярный размер, это соотношение для однородного поля можно записать как произведение скалярного вектора поля E и вектора поверхности A:

ΦE = Е * А

В общем случае, когда поле неоднородно, а поверхность не плоская, приближенное выражение для поля E через участок изогнутой поверхности получается путем деления этого куска на количество из n небольших плоских панелей, каждая из которых имеет небольшую, но конечную поверхность ΔA i . Электрическое поле, проходящее через поверхность ΔA i, имеет приблизительно постоянное значение i, а приблизительное значение поля E потока получается суммированием потоков через отдельные плоские лепестки.

приближенное значение для поля Е

Поток Е (гомогенная или гетерогенный) через бесконечно малый элемент поверхности d А называются скалярное произведение:

скалярное произведение через бесконечно малый элемент

Поток поля E, проходящий через участок области A, будет получен после замены суммы путем интегрирования по всей плоскости A:

интегрирование потока поля Е

Поток поля E, проходящий через замкнутую поверхность A, описывается интегралом (целочисленный символ с кружком)

потока поля Е, проходящий через замкнутую поверхность A

Вектор  мы выбираем так , что он обращен к наружной поверхности:

вектор dA, обращенный к наружной поверхности

Поток векторного поля может быть проиллюстрирован графически с использованием силовых линий этого поля:

Общее количество силовых линий в телесном угле при 2R такое же, как и на расстоянии R. Напряженность поля обратно пропорциональна R2 , но площадь A прямо пропорциональна R2 . Таким образом, произведение этих двух величин, 1 / R2 × R2 , не зависит от R.

Если внутри замкнутой поверхности на чертеже , обозначенном A1, разместить положительный заряд +Q, поток электронов через поверхность будет положительным. После того, как внутри другой замкнутой поверхности А2 будет размещать груз с тем же значением, но с противоположным знаком, -Q, поток будет отрицательным (линии поля входят внутрь), но абсолютное значение потока через поверхность A2 будет таким же, как для поверхности A1.

картинка-чертеж силовых линий и замкнутых поверхностей

Значение потока не зависит от формы замкнутой поверхности, а зависит только от величины нагрузки, заключенной внутри этой поверхности. Следовательно, поток поля, исходящий из электрического диполя внутри любой замкнутой поверхности, будет равен нулю (поскольку алгебраическая сумма +Q и -Q равна нулю).

поток поля, исходящий из электрического диполя внутри любой замкнутой поверхности

Если бы заряды не были одинаковыми, поток поля не мог быть нулевым. Если, например, отрицательный заряд больше положительного, поток поля через закрытую поверхность является отрицательным, как на рисунке:

отрицательный поток поля через закрытую поверхность

Закон Гаусса для электрического поля

Закон Гаусса, один из важнейших в электродинамике, определяет, что поток электрического поля E через замкнутую поверхность   определяется только алгебраической суммой всех электрических зарядов Q, содержащихся в этой поверхности. Неважно, как эти нагрузки распределяются внутри этой поверхности.

формула закона гаусса

Символ Q является алгебраической суммой зарядов внутри замкнутой поверхности A, после чего мы интегрируем поток; g0 — электрическая проницаемость вакуума.

 Не имеет значения, как распределяются заряды внутри поверхности A. В то же время на величину общего потока электрического поля не влияют никакие заряды, которые находятся за пределами поверхности А, даже те, которые прилипли к ее внешней стороне.

Закон Гаусса для электрического поля представляет собой обобщенную формулировку взаимосвязи между зарядами и электрическими полями и является одним из четырех уравнений Максвелла, описывающих все электрические и магнитные явления.

Применение закона Гаусса для расчета электрического поля

Имея данное распределение заряда, мы можем использовать закон Гаусса для электрического поля, чтобы вычислить значение электрического поля в конкретной точке или области. Ключевое действие — окружить соответствующую зону нагрузки подходящим образом выбранной закрытой поверхностью. Хотя закон Гаусса выполняется для каждой замкнутой грани А, выбор этой поверхности должен быть таким, чтобы его интегрирование было наиболее простым. В приведенных примерах предлагаемая поверхность Гаусса отмечена красным контуром на рисунке.

1. Закон Кулона содержится в законе Гаусса, но он сам является экспериментальной зависимостью, которую мы использовали для получения закона Гаусса.

Таким образом, закон Гаусса является более общим, чем закон Кулона: закон Гаусса не может быть выведен из закона Кулона, но закон Кулона легко получается из закона Гаусса. Достаточно найти силу F = q * E , действующую на точечный заряд q, расположенный на расстоянии r от другого точечного заряда Q. Чтобы определить F, нам нужно знать только E. Поместим нагрузку Q в центр сферы с радиусом r, как на рисунке:

заряд Q в центре сферы

Поле Е от заряда Q на поверхности сферы имеют то же значение, всюду на поверхности вектора E параллельно вектору . После применения закона Гаусса мы получаем:

применение закона гаусса

или

применение закона гаусса

Поскольку вектор E направлен вдоль радиуса r , то:

Согласно определению поля E, сила, действующая на нагрузку q, равна:

формула силы через нагрузку и поле Е

Поэтому мы получили закон Кулона от закона Гаусса:

2. Поле заряженной проводящей сферы с радиусом r (внутри сферы нет зарядов):

Поле заряженной проводящей сферы с радиусом r

В соответствии с законом Гаусса, поле вне сферы на расстоянии R от центра , или:

поле вне сферы на расстоянии R от центра

Внутри поля сферы (Q = 0): E = 0.

3. Поле однородно заряженной диэлектрической сферы. Общая нагрузка, содержащаяся в шаре, составляет Q.

Поле однородно заряженной диэлектрической сферы

При расчете поля E на расстоянии x от центра сферы обозначим через q заряд, содержащийся в сфере с радиусом x. От прямой линии мы получаем:

расчет поля Е

На основании закона Гаусса искали поле Е внутри шара. Таким образом, поле внутри сферы линейно растет с увеличением x. Вне сферы поле уменьшается с увеличением расстояния от центра:

поле уменьшается с увеличением расстояния от центра

4. Линейное зарядное поле и заряженный проводящий цилиндр с плотностью заряда 8 [С / м]:

Линейное зарядное поле и заряженный проводящий цилиндр

На участке L имеется нагрузка Q = 8 L, поэтому мы получаем закон Гаусса . Отсюда мы находим искомую область:

искомая область на цилиндре

5. Поле заряженного бесконечного плоского слоя.

Поле заряженного бесконечного плоского слоя

Поле является однородным и простирается в обоих направлениях перпендикулярно поверхности пластины (проходит только через основание цилиндра). Мы получаем закон Гаусса:

6. Поле заряженной бесконечной плоской проводящей пластины.

Поле заряженной бесконечной плоской проводящей пластины

Нагрузка на проводящую пластину распределяется на обе поверхности. Поскольку у нас есть два слоя нагрузки с плотностью заряда σ каждый, то напряженность поля будет в два раза выше в зависимости от результата предыдущего примера.

напряженность поля

7. Поле между противоположно заряженными параллельными проводящими пластинами:

Поле между противоположно заряженными параллельными проводящими пластинами

В качестве гауссовой поверхности мы выбираем прямоугольную призму с одним основанием, погруженным в металлическую пластину, где нет ни заряда, ни поля E. Поле проникает только в основание прямоугольной призмы, которое находится в пространстве между пластинами. Из закона Гаусса мы получаем:

закон гаусса для пластины

Снаружи пластин поле равно нулю.

Линии магнитного поля

Магнитные силовые линии , как правило, кривые, иллюстрирующие направления магнитного поля B. Это означает, что в каждой точке линии поля имеется вектор B, касательный к этой линии. В однородном поле B линии поля образуют пучок параллельных прямых. Линий поля B бесконечно много, потому что одна линия проходит через каждую точку поля.

  Из предыдущей статьи мы знаем, что источниками поля B являются движущиеся электрические заряды (электрический ток). Другими широко известными источниками магнитного поля являются постоянные магниты, часто сделанные в форме подковы или стержня. Каждый магнит имеет два полюса, обычно называемых северным и южным (в соответствии с их ориентацией к полюсам Земли). Эти полюса нельзя отделить друг от друга. Стержневой магнит, разрезанный на две части, даст два стержневых магнита, каждый из которых будет иметь собственный набор полюсов N и S. Такие умножающие магниты можно продолжать без надежды на отделение полюсов друг от друга. Каждый магнит, полученный таким образом, будет биполярной системой ( магнитный диполь). Хотя ни один закон природы не запрещает магнитным полюсам появляться отдельно в качестве магнитных монополей, ни в природе, ни в экспериментальных исследованиях магнитных монополей пока не найдено. Поиски продолжаются.

Как мы видели ранее, линии электрического поля генерируются на отдельных зарядах или в системах нагрузки и могут легко исчезать. В случае поля B линии поля образуют замкнутые петли. Такие линии, идущие от одного полюса, могут проникать через различные объекты в непосредственной близости от магнита, но они обязательно должны возвращаться к другому полюсу.

Изображение распределения поля B вокруг стержневого магнита

Изображение распределения поля B вокруг стержневого магнита показано на фотографии стеклянной пластины, обсыпанной ферромагнитным порошком и помещенной на магнит. Порошковый слой уплотняется в областях, где поле B сильнее. В непосредственной близости от полюсов, где поле является самым сильным, ферромагнитный порошок энергично натягивается на полюса магнита, заставляя слой истончаться на стекле.

Изображение распределения поля B вокруг стержневого магнита

Поскольку линии поля B образуют замкнутые петли, такие линии, пересекающие замкнутую поверхность, обязательно должны давать нулевую сумму — число линий, покидающих эту область, точно равно числу обратных линий.

число линий, покидающих эту область, точно равно числу обратных линий

Отличным местом для всех, кто интересуется природой и экспериментальными исследованиями, является Exploratorium в Сан-Франциско, расположенный во дворце рядом со знаменитым мостом Золотые Ворота и островом тюрьмы Алькатрас (ныне музей). Из более чем ста исследовательских стендов, особенно осажденных детьми, есть станция с магнитом, покрытым ферромагнитными зернами (называемым там «песком»). Магнитное поле, проникая через тело, строит свои структуры в пространстве, вызывая, среди прочего, выращивание ферромагнитных деревьев на поверхности ладони, как показано на фотографиях.

фотография из Exploratorium со стенда с магнитом
фотография из Exploratorium со стенда с магнитом

Поток магнитного поля

Поток B определяется аналогично вектору потока любого размера, и, в частности , потока электрического поля Е. Элементарный поток поля В , проходящих через бесконечно малый элемент поверхности d А определяются как скалярное произведение между этими двумя значениями:

поток поля В проходящих через бесконечно малый элемент поверхности d А

Таким образом, поток поля B, проходящий через макроскопический поверхностный слой A:

формула поток поля B

Единица магнитного потока в системе СИ составляет 1 Вебер (1 Вб) = 1 Н · м · А -1 . Таким образом, магнитное поле B иногда называют плотностью потока и 1T = 1 Вт · м -2 .

Закон Гаусса для магнитного поля

Закон Гаусса для поля B определяет, что поток магнитного поля через закрытую поверхность равен нулю, т.е. :

Закон Гаусса для поля B

Обратите внимание на очень важный символ интеграла с кружком, который говорит, что интеграция должна происходить на замкнутой поверхности. В случае электрического поля плотность электрического заряда находится справа от аналогичного уравнения. Поскольку в природе нет магнитных монополей, полюса N и S должны быть в одном и том же числе, что дает алгебраически ноль. По этой причине справа от уравнения, описывающего закон Гаусса для B , ноль. Закон Гаусса для магнитного поля является одним из четырех уравнений Максвелла (в интегральной форме), описывающих совокупность электрических и магнитных явлений в природе.

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

comments powered by HyperComments
Оценки статьи:
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (4 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...